Rdm ch. 2 : rappels sur les caractéristiques géométriques des sections (partie 2)

Par
nicolas
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Exercice 1

Soit un demi disque de centre « o » . Définir la position du centre de gravité « G ».

Le moment statique de « S » par rapport à l’axe oz

  

Le moment statique de « S » par rapport à l’axe oy

 

 

  

Exercice 2

Soit le triangle rectangle de hauteur h et longueur a,

Déterminer la position du centre de gravité « G » (ZG , YG).

  

Exercice 3

Soit le rectangle de largeur » b » et hauteur » h », déterminer la position du centre de gravité « G » de coordonnées XG et YG.

  • Déterminer les moments quadratiques par rapport aux axes Oz ,Oy.
  • Déterminer les moments quadratiques par rapport aux axes Gz ,Gy
  • Déterminer le produit d’inertie IO/zy

Calcul de ZG et YG

Calcul de I/Oz et I/Oy

Calcul de I/Gz et I/Gy

Calcul de I/ozy

Axes principaux d’inertie

Soit une section droite « S ». Exprimons les coordonnées d’un point « M » quelconque dans les deux systèmes d’axes : zGy et ZGY.

M dans z Gy a pour abscisse « z » et pour ordonnée « y ».

M dans Z GY a pour abscisse « Z » et pour ordonnée « Y ».

Les axes Gz et GZ sont liés par l’angle Ө.

Cherchons à exprimer les valeurs de Y et Z en fonction de y,z,Ө.

Multiplions l’équation (1) par cosӨ et l’équation (2) par sinӨ, puis additionnons les deux équations obtenues.

Multiplions l’équation (2) par (cosӨ) et l’équation (1) par (-sinӨ), puis additionnons les deux équations obtenues.

Exprimons les moments quadratiques I(S)/GZ et I(S)/GY avec les valeurs Z et Y en fonction de y,z.

L’angle 2Ө représente la position du système d’axes principal d’inertie YGZ par rapport à un système d’axes quelconque yGz..

Par définition le produit d’inertie d’une section par rapport à son système d’axe principal est nul.

Pour les sections qui offrent un plan de symétrie évident (rectangle, cercle….) la position du système d’axes principal est immédiat car l’axe de symétrie est également plan principal. Le 2eme axe est perpendiculaire au premier.

Pour les sections de géométrie quelconques la recherche des axes principaux nécessite le calcul de l’angle 2Ө.

Exercice 4

Soit la section ci-dessous, les cotes sont en cm.

Déterminer le produit d’inertie par rapport au système yGz

Déterminer les moments quadratiques par rapport aux axes GY et GZ.

Préalablement il faut définir la position de G :

Puis calculer :

Moments quadratiques par rapport aux axes GZ et GY :

Crédit photo : farouq_taj @ flickr