Rdm ch. 3 : théorie des poutres (partie 1)

Généralités et définitions

Une poutre est définie par le déplacement d’une section « S » le long d’un axe curviligne « s ». Si la section « S » possède un plan de symétrie alors la poutre est dite « poutre à plan moyen ». Dans le cas de la poutre représentée ci-dessous la section « S » possède un plan de symétrie (xGy).

G est le centre de gravité (cdg) de la section « S ».

Les axes x, y, z sont choisis selon le sens direct.

Soit « P » un plan normal à l’axe « s » qui sépare la poutre en 2 parties. La partie gauche est appelée « A » et la partie droite « B ».

Nous supposons que la poutre, dans son ensemble, est en équilibre sous l’effet des actions extérieures Fi; Mti, Fj, Mtj et des réactions au niveau de ses appuis.

Si nous considérons la partie « A  » , nous pouvons dire qu’elle est en équilibre sous les actions extérieures Fi, Mti, les réactions d’appuis existant sur la partie « A » et l’effet de la partie « B » transmis à la partie « A  » par le plan « P ».

L’effet de la partie « B » peut être représenté par un torseur appliqué au centre de gravité de « S ». Les composantes de ce torseur sont :

  • R    = résultante des forces
  • Mr  = résultante des moments

De même l’effet de la partie « A » sur la partie « B » est représenté par R’ et MR’. Lorsque les deux parties sont « recollées » alors les quantités R, R’ et MR, MR’ s’annulent mutuellement. Puisque la Partie « A » est en équilibre nous pouvons écrire les équations fondamentales de l’équilibre :

Par ailleurs nous pouvons décomposer la résultante R et le moment résultant Mr selon leurs projections sur les trois axes x, y, z.

 1/ Les projections de R sont dans le cas le plus général:

1/ N, effort normal sur Gx
2/ Ty effort tranchant sur Gy
3/ Tz effort tranchant sur Gz

 2/ Les projections de Mr sont dans le cas le plus général

1/Mtx moment de torsion sur Gx
2/Mty moment fléchissant sur Gy
3/Mtz moment fléchissant sur Gz

L’équilibre de la partie « A » permet d’écrire:

Dans le cas particulier de poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan, les équations d’équilibre de la partie « A » se réduisent:

 

Relations entre N, Ty et Mtz

Soit une poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan.

Considérons un tronçon de poutre compris entre 2 sections droites distantes de dx. Cherchons à exprimer des relations simples entre les éléments de réduction en G0 et les éléments de réduction en G1.

On suppose que les valeurs de N, Ty, Mtz sont connues dans la section S0. 

A priori les valeurs de N, Ty, Mtz dans la section « S1 » sont différentes de celles en « S0 » mais on peut les exprimer par rapport aux valeurs en S0 par les expressions suivantes :

Le signe négatif est justifié par le fait que le tronçon étudié est en équilibre.

Plusieurs cas de chargement peuvent être envisagés entre les 2 sections : charge verticale ponctuelle « P », charge répartie « p(x) », charge horizontale ponctuelle »H ».

Nous allons étudier successivement ces différents cas de charge.

1/ Charge verticale ponctuelle «P»

Écrivons que le tronçon est en équilibre.

dTy.dx  est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

2/ Charge verticale répartie p(x)

Écrivons que le tronçon est en équilibre.

dTy.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

3/ Charge horizontale  ponctuelle « H »

Écrivons que le tronçon est en équilibre.

dTy.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

4/ Moment appliqué au point « C »

Écrivons que le tronçon est en équilibre.

dTy.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

Conclusions sur les relations entre N, Ty, Mtz

Dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan uniquement par des forces extérieures verticales, les variations de N,Ty,Mtz entre 2 sections proches de dx vérifient les équations suivantes:

Ces expressions permettent d’exprimer les variations de N, Ty, Mtz le long d’une poutre. La difficulté réside dans le fait que la fonction qui définie le chargement n’est pas continue, par conséquence la résolution ne peut se faire que par tronçons.

Deux méthodes peuvent être utilisées :

1/ Par intégration des expressions précédentes

Cette solution conduit à faire apparaître des constantes d’intégration, les valeurs de ces constantes sont obtenues par interprétations des conditions limites de la poutre : valeurs aux appuis …

2/ Par écriture des équations d’équilibre

A partir de ces expressions il est possible de représenter graphiquement les variations : N,Ty,Mtz  en fonction de x.

Le chapitre suivant à pour objet l’application de ces notions dans les cas les plus courants.

Relations entre contraintes et N, Ty, Tz, Mtx, MTy, Mtz

Principe de Saint –Venant

Les contraintes et déformations (supposées de faible amplitude) dans une section éloignée des points d’application des forces extérieures ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre située à gauche de la section étudiée.

Loi de Hooke

Les contraintes et déformations sont liées par une relation linéaire. De même il existe une relation linaire entres forces appliquées et contraintes. Cette loi permet d’appliquer le principe de superposition.

La loi de Hooke définit le domaine « élastique ».

Prenons par exemple une barre soumise à un effort de traction. Sous l’application de l’effort la barre s’allonge. Si l’on double l’effort l’allongement sera doublé. Si l’on enleve toute force la barre reprend sa géométrie initiale. On dira que ce système est dans le domaine « élastique ».

Cette loi, très importante, permet de décomposer un chargement complexe en la somme de chargements simples. Les applications de cette loi seront étudiées dans les prochains chapitres.

Définition de la notion de contrainte

Nous avons vu que les forces extérieures appliquées au système peuvent se réduire, au niveau d’une section droite, par des composantes N, Ty, Tz, Mtx’Mty’Mtz représentées au point « G » centre de gravité de la section.

Cette analyse conduit à retenir que les efforts se transmettent d’une section à la section voisine uniquement par concentrations des actions au centre de gravité. Bien entendu cette approche n’est pas conforme à la réalité. En fait les efforts se transmettent d’une section à l’autre par chaque grain de matière.

Nous désignerons par « ds » une surface élémentaire d’une section droite (S) quelconque. « M » est le point situé au centre de gravité de « ds ». Par définition nous appellerons »contrainte » la valeur de la force élémentaire c.ds lorsque « ds » tend vers 0.

La somme des actions des forces élémentaires « c.ds » est égale aux composantes concentrées au point »G » centre de gravité de « S » . Nous allons chercher les relations entres les composantes de « c.ds » pour l’ensemble des points « M » et les composantes N, T, Tz, Mtx, Mty, Mtz au point « G ».

Relations entre c.ds et N, Ty, Tz, Mtx, Mty, Mtz

Exprimons que la somme des « c.ds » étendue à la section »S » est égale aux composantes de « R » et « MtR » appliquée en G.

En identifiant l’égalité terme à terme on obtient :

Nous pouvons également exprimer que la somme des moments des » c.ds », par rapport au point »G » est égale au moment résultant »MtR »:

Effectuons cette opération (produit en croix) avec :

On obtient :

En identifiant l’égalité terme à terme on obtient:

 

Ces 2 expressions mettent en relations les contraintes et les éléments de réduction des forces de « gauche » réduit au centre de gravité « G ».

Dans la suite du cours nous reprendrons l’étude de ces expressions.

Suite : rdm ch. 3 : théorie des poutres (partie 2)

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