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Définitions mathématiques utiles

Définition d’une variable aléatoire

On définit une caractéristique mécanique comme la résistance d’une barre d’acier à la traction. Si l’on réalise une série représentative de tests d’arrachement de barre, la valeur de rupture sera nécessairement orientée autour d’une moyenne avec un certain niveau de dispersion.On nomme variable aléatoire cette caractéristique mécanique et on la note X.

Définition d’une fonction de répartition

L’ensemble des valeurs prise par la variable aléatoire X forment 1 population.
On s’intéresse à la probabilité que cette limite d’arrachement soit supérieure à
une certaine valeur connue.

On affecte une fonction de répartition F(x) tel que:

Définition d’une densité de probabilité

La densité de probabilité d’une série est définie comme la dérivée de la fonction de répartition (elle traduit la variation au niveau de la répartition des différents éléments d’une population.

On la nomme:

On peut relier f(x) et F(x) par une relation sous forme intégrale car elle est plus utilise pour calculer les probabilités :

La probabilité qu’une valeur X de la rupture soit atteinte est définie par l’aire située sur la courbe f(x).

La loi normale

On définit la moyenne d’une série de donnée (ou population) et l’écart type Sigma selon les relations :

Mathématiquement, on dit qu’ une variable réelle X suit une loi normale de moyenne m et d’écart type Sigma si la variable X admet une fonction f(x) comme densité de probabilité tel que :

La densité de probabilité f(x) peut rendre compte de plusieurs distributions remarquables et la loi normale n’est qu’une distribution parmi d’autres. Pour des raisons pratiques on va utiliser la loi normale centrée réduite qui est un cas particulier. On va centrer la moyenne en (0,0) donc m=0 et transformer l’écart type tel que Sigma = 1.

La loi centrée réduite

On passe de la loi centrée à la loi centrée réduite grâce au changement de variable:

Tracé de la loi normale centrée réduite

 

Exemple d’essai mécanique

On prend un acier dont la résistance à la traction a été testée. Les résultats montrent que les données suivent une loi normale de moyenne m= 400Mpa et un écart type. Sigma. r =30 Mpa.

On recherche la probabilité d’obtenir une résistance à la traction de 385 MPa.

Réponse au problème posé

Utilisons le changement de variable pour ramener le problème à la loi normale centrée :

Donc la probabilité d’avoir x < 385 MPa est équivalente à la probabilité d’avoir z compris entre -∞ et -0.5 .

Il suffit donc de calculer

Il n’existe pas d’expression permettant de calculer avec précision l’intégrale, cependant on peut approximer la fonction par un développement de Taylor (ordre 5) qui marche bien pour des valeurs de |z|<2

On recherche pour z = – 1/2 mais on sait que l’aire totale vaut 1 et que la courbe est symétrique et centrée sur le point (0,0) donc

Remarque 1

Si on recherche la probabilité d’obtenir un test qui donne une valeur de x=380MPa , on trouvera :

Ce qui équivaut à

La valeur demandée étant plus éloignée de la moyenne, il est logique que le pourcentage diminue.

Remarque 2

Si on recherche une même valeur x=385MPa mais qu’on travaille sur une seconde série de test qui fait apparaître un écart-type différent, par exemple :

Alors on va trouver

Ce qui équivaut à

La probabilité d’obtenir la même valeur de x=385MPa est plus grande (35% vs 31%). L’écart-type représente en quelque sorte les écarts à la moyenne au carré et donc les deux matériaux ont un comportement différent.

Crédit photo : shonk @ flickr