Rdm ch. 1 : rappel sur la mécanique des solides (partie 3)

Charges réparties

Nous avons, dans les différents exercices précédents, considéré uniquement des forces ponctuelles. Ces forces, dans le domaine du bâtiment peuvent correspondre à des pieds de machine sur un plancher ou l’action d’un poteau sur une fondation.

Il existe également des charges dites « réparties » c’est-à-dire des actions par unités de longueur, de surface ou de volume élémentaires. C’est le cas de la pression de l’eau sur les parois d’une piscine, ou le poids de la neige sur une couverture, ou encore le poids des pièces constituant le système matériel étudié (appelé poids propre).

Les charges réparties sont représentées par 2 symboles usuels ; « p » ou « q ».

Ces charges réparties sont appelées également « taux de charge « .

Puisque ces charges sont réparties il faut donc préciser si cette répartition est linéaire, surfacique ou volumique.

  • P/ml représente une charge répartie linéique, le symbole /ml indique que la charge est exprimée par mètre de longueur
  • P/m2 représente une charge répartie surfacique
  • P/m3 représente une charge répartie volumique

Les unités les plus utilisées sont le N ,daN,KN pour les forces et cm et m pour les longueur surface et volume.

Par exemple le poids de la neige sur une surface plane et horizontale : 45 daN/M2. Le poids « propre » d’une barre : p/ml (5daN/ ml).

Les charges réparties sont représentées comme suit:

Ces charges ne sont pas obligatoirement réparties de façon uniforme.

Dans le cas de l’action de l’eau sur une paroi verticale, nous savons que la pression est nulle en surface et maximale en pied de mur. La charge est donc répartie linéairement. La représentation est la suivante :

Le symbole « (y) » après « p » indique que la charge est répartie de façon variable selon « y ».

  • Pour y = h : p/ml = 0
  • Pour y = 0 : p/ml est maxi

On peut imaginer toutes autres formes de répartition. De plus les charges réparties ne sont pas obligatoirement perpendiculaires à leurs support.

Exemple de la neige sur un toiture en pente :

Les calculs avec ce type de charges seront engagés en décomposant la charge répartie sur le toit selon les 2 projections sur les axes « x » et « y ».

Uniquement pour l’étude de l’équilibre statique du système matériel, les forces réparties pourront être remplacées par leurs résultantes. Les points d’application de ces résultantes seront fonction de la forme géométrique de la répartition. Dans les cas les plus simples la position des résultantes est évidente, dans les cas de répartition quelconque il faudra rechercher le barycentre.

Exercice 8

Énoncé

Calculer les réactions d’appuis du système matériel plan soumis à une charge ponctuelle = 5 KN et une charge repartie de façon linéairement variable entre 0 et 3 KN appliquée sur une longueur de 3 m.

Résultats

  • Va = 4,34 KN
  • Vb = 5,16 KN

Exercice 9

Énoncé

Calculer les réactions d’appuis du système matériel plan soumis à une charge répartie de façon linéairement variable entre 0 et 5 KN.

Résultats

  • Va = 25,00 KN
  • Ha = 0 KN
  • Mta = -166,67 m.KN

Exercice 10

Énoncé

Calculer les réactions d’appuis du système matériel plan suivant :

Résultats

  • Va = 6,40 KN
  • Ha = -16,07 KN
  • Vb =  1.53KN

Détermination des réactions d’appuis par la méthode graphique

Il s’agit d’une méthode « géométrique » qui permet de déterminer, dans les cas simples, les réactions d’appuis.

Cette méthode est devenue quelque peu obsolète compte tenu du développement des moyens de calcul par ordinateur. Elle était utilisée principalement en charpente métallique et charpente bois. Les plans de traçage (appelés également plans d’atelier) étaient définies par des projeteurs calculateurs sur les planches à dessin. Les tracets étaient réalisés à grande échelle ce qui permettait d’obtenir un niveau de précision parfaitement compatible avec les tolérances admisses pour la construction des édifices.

La démonstration de cette méthode graphique fait l’objet d’un développement théorique. L’objectif, dans le cadre de la première année de RdM, est de retenir le principe de cette méthode à partir de quelques exemples simples.

1. Dynamique des forces

Nous avons vu précédemment que les forces extérieures et les réactions d’appuis étaient représentées par des vecteurs glissants. Nous avons également vu que la première condition à satisfaire pour vérifier l’équilibre d’un système matériel était d’obtenir une somme de toutes les forces et réactions égale à 0. Cette somme de forces peut être représentée par une somme vectorielle, si le dernier vecteur vient rejoindre l’origine de la première force, alors la somme est nulle. La représentation de la somme de ces forces et réactions est appelée « le dynamique des forces ».

Nous faisons hypothèse que le système n’est soumis à aucun moment extérieur et que les liaisons sont constituées uniquement d’appuis simples et articulations.

Supposons un système matériel plan soumis à 3 forces extérieures F1, F2, F3. Traçons le dynamique des forces en présence.

On déduit de la construction du dynamique des forces que la somme vectorielle est nulle si il existe une force « R » qui prend naissance à l’extrémité de F3 et rejoint l’origine de F1. Cette force « R » correspond à la somme des réactions d’appuis, elle peut être décomposée selon 2 projections orthogonales Ox et Oy.

Pour résoudre totalement notre problème il faut réussir à décomposer les valeurs de chacune des composantes des réactions d’appuis.

Cette étude trouve une solution à condition que le nombre d’inconnues générées par les réactions d’appuis ne soit pas supérieur à 3.

2. Construction du funiculaire

Il s’agit de la construction d’une figure à partir des hypothèses suivantes :

  1. Tracer à l’échelle le système étudié et les forces appliquées.
  2. Sur une autre partie de la feuille, prendre un point quelconque dans le plan, ce point est appelé « P » pôle du funiculaire.
  3. Construire des lignes qui passent toutes par le point « P » et rejoignent les origines et extrémités de chaque forces et réactions d’appuis. Chaque ligne est appelée « rayon polaire ».
  4. Les rayons polaires sont reportés graphiquement (à l’aide d’une équerre et d’une règle) sur le dessin représentant le système étudié avec comme règle de base, que les rayons polaires qui « encadrent » les forces dans le schéma du funiculaire sont concourantes et s’interceptent sur la direction de la  force concernée.

Reprenons l’exemple précèdent

On peut remarquer que chaque rayon polaire correspondant à l’extrémité d’une force correspond également à l’origine de la force suivante.

Un nouveau rayon polaire apparaît entre l’origine de la première force et l’extrémité de la dernière.

Appliquons cette méthodologie à un exemple concret avec F1 = 3800 N, F2 = 5050 N et F3 = 2200 N.

Sur la figure d’origine nous faisons apparaître le rayon polaire « m ». Reportons ce rayon sur le funiculaire. Nous notons que ce rayon coupe la force (Va+Vb) en 2 parties.

Va est « encadré » par les rayons « a » et « m » ; Vb est encadré » par les rayons »m » et « d ».

Il suffit de mesurer sur le dynamique les valeurs de Va et Vb.

Résultats : Va = 6450 N et Vb = 4600 N

Exercice 11

Énoncé

Vérifier l’équilibre du système matériel défini ci-dessous

Comparer les résultas des réactions d’appuis avec les valeurs obtenues par la méthode algébrique.

Résultats

  • Va = 7,437 KN
  • Hb = 9,562 KN
  • Ha = – 7,50 KN

Crédit photo : apc33 @ flickr