LES FORMULES DE BRESSE (THÉORIE)

Les formules de Bresse sont un ensemble de trois formules mettant en relation les déformations et rotations d’une section de poutre S en fonction d’une section So connu.

Elles peuvent être utiles pour déterminer des inconnus hyperstatiques comme des efforts internes ou des déformations/rotations. On enseigne souvent ces formules en école d’ingénieur sous le chapitre méthodes énergétiques par exemple pour la résolution des problèmes classiques de poutre.

L’article porte sur une démonstration des formules de Bresse à partir de considérations géométriques simple, des lois fondamentales de la mécanique et de quelques résultats vectoriels.

NOTATIONS ET GÉNÉRALITÉS

Soit une poutre continue a plan moyen chargée dans son plan moyen. On adopte les notations suivantes :

Les coordonnées sont les suivantes :

Xo, Yo ,So Pour la section de départ Go
a, b ,c Pour la section intermédiaire G’
X, Y ,S Pour la section de d’arrivée G
Le centre de gravité Go se déplace de c .
Le centre de gravité G se déplace de U et V .Les rotations respectives des sections sont Wo et W.

Nous noterons les efforts intérieurs sur la section intermédiaire G’ respectivement N, T et Mz.
L’angle de la section G’ avec l’axe x est noté teta
On note également l’allongement unitaire subit par la fibre moyenne To.

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Les formules de Bresses permettent de faire ‘’un lien’’ entre la section Go et la section G et avec les notations ci-dessus s’écrivent de la façon suivante :

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PLAN DE LA DÉMONSTRATION:

En observant par exemple la première équation on peut isoler les différents termes de l’expression de la façon suivante :

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Afin de démontrer la formule nous allons en établir chaque terme de l’équation et appliquer le principe de superposition aux déplacements et rotations afin de reconstituer la formule générale.

DÉMONSTRATION

Effet du déplacement

Lorsque la poutre est uniquement soumise à un déplacement de la section initiale, elle subit uniquement une translation. On peut donc écrire les relations suivantes :

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Effet de la rotation W0 lorsque la poutre est uniquement soumise à une rotation de la section initiale, elle subit une rotation équivalente w(s) = Wo non nul .On a egalement dans ce cas uo = v0 = 0

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7Effet du moment fléchissant Mz

Sous l’action du moment Mz une petite section de poutre de longueur d subit une rotation dw tel que :

 

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Supposons que le moment agisse uniquement sur une petite portion de poutre et produise une petite roration selon le schéma suivant :

 

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EXEMPLE D’APPLICATION

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credit photo Frédéric BISSON@flicr