Stabilité d’une voûte (partie 1)

On prend comme hypothèse une voute en demi-arc de cercle formée de 4 pierres uniquement. On étudie la statique du système

On considère les hypothèses suivantes :

  • Le système matériel étudié est la demi-voute dans son ensemble ;
  • Le haut de la voute est mobilisée par une réaction ;
  • N’étant l’effort de poussée que la structure de l’église reporte sur la voûte ;
  • Il n’y a pas d’encastrement au niveau des appuis : chaque pierre est de même poids et chaque pierre est indéformable ;
  • Aucune pierre ne transmet de moment.

On considère les données de calcul suivantes :

  • Poids de chaque pierre : p =1
  • Poussée d’appui horizontale : Ha=N = 10
  • Réaction d’appui horizontale en b: Hb
  • Réaction d’appui verticale en b: Vb
  • Angle alpha = 22.5 degrés

Calcul des réactions d’appui

L’effort horizontal N est transmis en Hb Par la voute. le poids est transmis à l’appui en Vb.

Calcul des sous-systèmes

En A, la poussée N est transmise de la pierre 1 vers la pierre 2 et ainsi de suite vers la pierre 4 jusqu’à l’appui B.

On s’intéresse aux réactions des pierres les unes sur les autres. Pour calculer ces forces.On peut exprimer le fait que chaque pierre doit être en équilibre statique vis à vis de toutes les forces extérieures.

En étudiant le système matériel « pierre 1 », on se rend compte que la pierre 1 est soumise à N (la poussée horizontale), p (son poids) et R (la réaction à la surface S1 de la pierre 2 sur la pierre 1 (normale et tangentielle).

En faisant de même pour chaque pierre de 1 à 4, on obtient les réactions de chaque pierre les unes vis à vis des autres.

Équilibre de la pierre 1

 

Équilibre de la pierre 4

Équilibre pierre 2

Pour les pierres intermédiaires 2 et 3 nous avons choisi d’exprimer les relations d’équilibre dans un sous-système particulier ou le nombre des forces est minimal:

Équilibre pierres 3

On récapitule les résultats suivants :

Suite : stabilité d’une voûte (partie 2)

Crédit photo : ImAges ImprObables @ flickr

Reponse aux questions :

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