Stabilité d’une voûte (partie 1)

On prend comme hypothèse une voute en demi-arc de cercle formée de 4 pierres uniquement. On étudie la statique du système

On considère les hypothèses suivantes :

  • Le système matériel étudié est la demi-voute dans son ensemble ;
  • Le haut de la voute est mobilisée par une réaction ;
  • N’étant l’effort de poussée que la structure de l’église reporte sur la voûte ;
  • Il n’y a pas d’encastrement au niveau des appuis : chaque pierre est de même poids et chaque pierre est indéformable ;
  • Aucune pierre ne transmet de moment.

On considère les données de calcul suivantes :

  • Poids de chaque pierre : p =1
  • Poussée d’appui horizontale : Ha=N = 10
  • Réaction d’appui horizontale en b: Hb
  • Réaction d’appui verticale en b: Vb
  • Angle alpha = 22.5 degrés

Calcul des réactions d’appui

L’effort horizontal N est transmis en Hb Par la voute. le poids est transmis à l’appui en Vb.

Calcul des sous-systèmes

En A, la poussée N est transmise de la pierre 1 vers la pierre 2 et ainsi de suite vers la pierre 4 jusqu’à l’appui B.

On s’intéresse aux réactions des pierres les unes sur les autres. Pour calculer ces forces.On peut exprimer le fait que chaque pierre doit être en équilibre statique vis à vis de toutes les forces extérieures.

En étudiant le système matériel « pierre 1 », on se rend compte que la pierre 1 est soumise à N (la poussée horizontale), p (son poids) et R (la réaction à la surface S1 de la pierre 2 sur la pierre 1 (normale et tangentielle).

En faisant de même pour chaque pierre de 1 à 4, on obtient les réactions de chaque pierre les unes vis à vis des autres.

Équilibre de la pierre 1

 

Équilibre de la pierre 4

Équilibre pierre 2

Pour les pierres intermédiaires 2 et 3 nous avons choisi d’exprimer les relations d’équilibre dans un sous-système particulier ou le nombre des forces est minimal:

Équilibre pierres 3

On récapitule les résultats suivants :

Suite : stabilité d’une voûte (partie 2)

Crédit photo : ImAges ImprObables @ flickr

Reponse aux questions :

image

 

 

 

 

  • Emeline

    Bonjour,

    Comment trouvez-vous « β » pour le cas statique de la pierre 1? Et sur le schéma, j’ai l’impression que No superpose la force de réaction R? Où peut-on placer la force R sur votre schéma (schéma de l’équilibre de la pierre 1)?

    Merci d’avance. C’est dans le cadre d’une étude en prépa.

    • nicolas

      Merci pour votre commentaire. J’ai modifié mon schéma. Est-ce cela répond a vos questions ?.

  • Félix Pierre

    Bonjour,

    Merci pour votre méthode, je me demande par contre pourquoi on prend N=10 au début, et y a t’il une unité pour cette valeur (N ou Kg), même question pour le poids P de la pierre, vous prenez 1 mais je ne comprend pas de quoi il s’agit.

    Merci d’avance pour votre réponse

    • nicolas

      Les valeurs qui sont prises N et P sont arbitraires et sans unité. Pour quelque chose de plus réaliste prendre 200 kg pour le poids d’une pierre par exemple et 20 kN (20 000 N) pour la valeur de N.
      La valeur de la force N vient de la poussée horizontale de la clé de voute qui elle meme recoit une charge verticale.(voir au début de l’article schéma).

    • geniecvl

      La valeur de la force N vient de la poussée horizontale de la clé de voute qui elle meme recoit une charge verticale.(voir a l a fin de l’article schéma).

      Sa determination fait l’objet d’une autre etude.

  • julien derbey

    bonjour, j’ai la même question que Felix.
    N est une donnée primordiale pour ce problème, et j’aimerais savoir comment vous la déterminez ?
    merci pour votre aide

    • nicolas

      La valeur de la force N vient de la poussée horizontale de la clé de voute qui elle meme recoit une charge verticale.(voir a l a fin de l’article schéma).
      Sa determination fait l’objet d’une autre etude.

    • geniecvl

      Bonjour,

      Comme pour Felix, la valeur de la force N vient de la poussée horizontale de la clé de voute qui elle meme recoit une charge verticale.(voir a l a fin de l’article schéma).

      Sa determination fait l’objet d’une autre etude.