Rdm ch. 1 : rappel sur la mécanique des solides (partie 2)

Exercices

Exercice 1

Énoncé

Vérifier l’équilibre du système matériel représenté ci-dessous.

  • F1 = 3800 N
  • F2 = 5050 N
  • F3 = 2200 N

Résolution

Le problème consiste donc à définir les valeurs des réactions d’appuis Va et Vb pour que le système soit en équilibre. La méthodologie pour résoudre ce problème est la suivante :

Choisir un repère orthonormé x, O, y, z

Prendre l’origine du repère sur le point du système matériel le plus à gauche possible. Cette option permet de gérer toutes les distances en valeurs positives.
L’axe « x » sera pris selon la plus grande dimension du système, dans le cas présent selon la longueur.
L’axe « y » est pris verticalement à partir du point d’origine.
Un sens positif « arbitraire » pour les moments des forces sera représenté sur l’angle supérieur droit de la figure. Pour le présent exercice prenons le sens trigonométrique.

Identifier les inconnues, c’est-à-dire les réactions d’appuis

Le nombre d’inconnues dépend du type d’appuis (du nombre de degré de liberté bloqué).

  • Un appui simple : 1 inconnue « V »
  • Une articulation : 2 inconnues « V » et « H »
  • Un encastrement : 3 inconnues « V », « H », « M »

Dans le présent cas nous identifions 2 appuis simples, les inconnues sont représentées par Va et Vb.

Les valeurs de Va et Vb sont inconnues, il faut donc pour les représenter choisir un sens à priori positif. Si les résultats conduisent à une valeur positive, le sens réel de la réaction sera conforme au sens « à priori »,sinon le sens réel sera opposé.

Ecrire les 3 équations fondamentales de l’équilibre

  1. La somme des projections des actions et réactions sur l’axe Ox est égale à 0 ;
  2. La somme des projections des actions et réactions sur l’axe Oy est égale à 0 ;
  3. La somme des moments des actions et réactions par rapport à un point quelconque est égale à 0.

Dans notre exemple ces 3 équations s’écrivent :

A partir de l’équation N°3 nous pouvons exprimer la valeur de Vb

Vb = 4605 N

En remplaçant Vb par sa valeur dans l’équation N°2 nous obtenons Va

Va = 6445 N

Les signes de Va et Vb sont positifs, ce qui signifie que leurs sens réel est conforme à l’hypothèse que nous avons initialement retenue.

Exercice 2

Reprendre le même exemple en changeant le sens « à priori » positif des moments et en exprimant la somme des moments par rapport au point B.

Nous pouvons vérifier que nous obtenons les mêmes résultats.

Exercice 3

Énoncé

Vérifier l’équilibre du système matériel défini ci-dessous.

Avec P1 = 2000 N, P2 = 800 N .

Résolution

Il faut, dans un premier temps, bien identifier le système matériel étudié, afin de mettre en évidence les réactions d’appuis. Dans le présent cas le système est étudié dans sa globalité, la barre intérieure constitue un sous-système. Les points de contact du système global avec son environnement correspondent uniquement aux points A et B.

Pour engager l’étude de l’équilibre du système, reprendre la méthodologie décrite dans l’exercice N° 1.

1. Choix du repère

2. Identification des inconnues

Dans le présent cas :

  • 1 inconnue en « A » Va
  • 2 inconnues en « B » Vb et Hb

3. Ecrire les 3 équations d’équilibre

L’équation N°3 permet d’obtenir directement Vb

Vb=1000 N

En remplaçant Vb par sa valeur dans l’équation (2) on obtient Va

Va= 1400 N

Hb est directement obtenu avec l’équation (1)

Hb =-692 N

Le signe »- » pour la valeur de Hb signifie que le sens réel est opposé à notre hypothèse.

Vérification des résultats

La vérification consiste à exprimer la somme des moments par rapport à un autre point. Selon le principe fondamental de l’équilibre cette somme doit être nulle en tout point.

Prenons, par exemple, la somme des moments par rapport au point « O » :

Nous pouvons vérifier que cette somme est bien nulle.

Exercice 4

Énoncé

Vérifier l’équilibre du système matériel défini ci-dessous.

Avec P = 20 000 N.

Résolution

Le système comprend 2 points de contact A et B.

1. Choix du repère : « x » selon la plus grande dimension, « y » au point « A ».

2. Inconnues : Va, Ha, Vb

3. Equations d’équilibre

L’équation N°3 permet d’obtenir directement Vb

Vb=17 647 N

En remplaçant Vb par sa valeur dans l’équation (2) on obtient Va

Va= -17 647 N

Hb est directement obtenu avec l’équation (1)

Hb =20 000 N

Vérification des résultats

Nous pouvons vérifier que cette somme est bien nulle.

Exercice 5

Énoncé

Vérifier l’équilibre du système matériel défini ci-dessous.

  • F1=3 KN
  • F2=2 KN
  • F3=4 KN
  • F4=2.5 KN
  • F5=3.5 KN
  • F6=5 KN
  • F7=4.5 KN

Résolution

Reprendre la méthodologie de l’exercice N°1

Résultats

  • Ha = – 7,50 KN
  • Va = 7,437 KN
  • Hb = 9.562 KN

Exercice 6

Énoncé

Déterminer les valeurs des réactions d’appuis en fonction de L, h, α

La charge F1 est appliquée perpendiculairement à la barre AC et à égale distance entre les points A et B.

Calculer les valeurs numériques des réactions avec:

  • F1 = 2 KN
  • F2 = 4 KN
  • F3 = 5 KN
  • L = 6 m
  • h = 3 m
  • α = 60 °

Résultats

  • Ha = 3,27 KN
  • Va = 2,93 KN
  • Vb = 2,07 KN

Exercice 7

Énoncé

Calculer les réactions d’appuis de ce système matériel :

F1 = 4 KN            F2 = 5 KN            F3 = 6 KN

Résultats

  • Ha = 4,00 KN
  • Va = 5,73 KN
  • Vb = 2,73 KN

Suite : rdm ch. 1 : rappel sur la mécanique des solides (partie 3)

Crédit photo : Pete Ashton @ flickr