Introduction – Généralités
Dans le présent article nous étudierons la flexion déviée. Celle-ci intervient dans le cadre du calcul d’une poutre de Section S déterminée par une coupure selon le plan P. Dans le cas général nous avons vu qu’il était possible de décomposer les composantes du torseur des forces de gauche au centre de gravité de la section »S »contenu dans le plan « P ». On réalise en fait l’équilibre de la partie gauche de la poutre par rapport à la partie droite.
En flexion déviée la poutre est produit des efforts internes tel que les projections du torseur ont pour valeurs:
Expressions des contraintes normales et déformations dans les axes principaux:
Nous prenons par hypothèse GZ, GY sont les axes principaux de »S ».
Dans l’étude de la flexion simple nous avons établi les valeurs des contraintes normales et déformations dues respectivement à Mtz et Mty :
En application de la loi de Hooke, les contraintes normales des deux sollicitations s’ajoutent en valeurs algébriques.
Les déformations dues aux flexions dans les deux directions sont définies respectivement par les expressions suivantes:
Les expressions des contraintes et déformations ont été établies par rapport aux axes principaux d’inertie GZ , GY avec application de charges extérieures dans ces plans. Dans les cas courants les poutres sont à plan moyen, c’est-à-dire qu’elles offrent un plan de symétrie, les plans principaux d’inertie sont donc identifiés facilement. Dans le cas de poutre de section quelconque, ou dans les cas de forces extérieures appliquées en dehors des plans principaux, il faudra dans un premier temps rechercher la position des axes principaux d’inertie, puis décomposer le moment du aux forces extérieures selon ses projections sur les axes principaux, et afin exprimer les valeurs des contraintes normales. La recherche des axes principaux a été étudiée dans le chapitre « géométrie des sections » .
Voici un petit rappel des résultats obtenus ;
La position de l’axe principal GZ est défini, par rapport à l’axe Gz, par l’angle Ө tel que :
Expressions des contraintes normales et déformations dans par rapport a un système quelconque d’axe
Supposons une poutre à plan moyen chargée dans le plan y Gx . Ce chargement ne se situant pas dans le système d’axes principal d’inertie, la section »s » est soumise à de la flexion déviée représentée par les moments Mtz Mty.
Précédemment nous avons établi les relations suivantes.
Remplaçons les valeurs MtZ , MtY ,Y ,Z dans l’expression suivante.
Après développement et simplifications nous obtenons l’expression générale.
Dans le cas particulier d’une poutre à plan moyen xGy chargée uniquement dans ce plan, alors Mty=0 , I/Gyz=0 et nous obtenons:
Les contraintes normales dus aux deux moments fléchissant s’ajoutent de manière algébrique, ce qui conduit à analyser le cumul des contraintes selon les valeurs de « Y » et « Z ».
Pour les « Y » > 0 et les « Z » < 0, les contraintes s’additionnent, de même que pour les « Z » > 0 et les « Y » < 0. Par contre pour les « Y » > 0 et les « Z » > 0 les contraintes se retranchent. On peut noter qu’en certains points la somme des contraintes normales due à Mtz et Mty peut être nulle.
Expression de l’axe neutre
L’axe neutre correspond à la famille des points pour lesquels la contrainte normale est nulle.
Cette expression représente l’équation d’une droite z = F(y). La pente de cette droite est définie par l’angle β.
La position de l’axe neutre peut également être définie à partir de l’expression de la contrainte normale dans le système d’axes principal ZGY.
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